Можно задачу интерпретировать в геометрию . Сами выражения
^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}...)
представляют собой длины отрезков . Если задачу рассматривать с геометрической точки зрения , получим некие точки , обозначим
\\
C(0;4)\\
E(4;3)\\
H(-2;1)\\ )
,и некая точка
)
. Требуется найти такую точку что сумма расстояний от точки

, к вершинам

была минимальной. Заметим что если обозначить в координатной плоскости

, получим параллелограмм

. Длины сторон

, все по той же формуле
^2+(y-y_{0})^2})
. Видно что минимальное значение будет , это точка пересечения диагоналей. Точка
)
есть точка пересечения диагоналей. Так как в точке пересечения диагонали делятся пополам. То получим
^2+y^2}=\sqrt{x^2+(4-y)^2} )
\
^2+(3-y)^2=(-2-x)^2+(1-y)^2\\
(2-x)^2+y^2=x^2+(4-y)^2\\\\
-12x-4y+20=0\\
8y-4x-12=0\\\\
x=1\\
y=2)
Для проверки можно положить
=\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+(y-4)^2}+\\
\sqrt{9+(y-3)^2}+\sqrt{9+(y-1)^2} )
Рассмотреть функцию , находя производную приравняв к 0 , получим

Ответ

минимальное значение равно