Докажите что функция y=F(x) является первообразной для функции f(x):

 

1)F(x)= -⅜cos 4x/3+ ¾cos 2x/3,     f(x)=sin x/3cosx

Чтобы это сделать, нужно доказать, что: F'(x) = f(x)

Найдем F'(x):

F'(x) = -3/8 * (cos4x/3)' + 3/4*(cos2x/3)'

(cos4x/3)' = -sin4x/3 * (4x/3)' = -4/3sin4x/3

(cos2x/3)' = -sin2x/3 * (2x/3)' = -2/3sin2x/3

F'(x) = -3/8 * (-4/3sin4x/3) + 3/4*(-2/3sin2x/3)

F'(x) = 1/2*sin4x/3 - 1/2sin2x/3

Пусть 4х/3 = y

F'(x) = 1/2sin(2y) - 1/2siny

F'(x) = 1/2*(sin(2y) - siny)

F'(x) = 1/2* (2siny*cosy - siny)

F'(x) = siny*cosy - 1/2siny

Вернемся к замене

siny = sin4x/3 = sinx/3  - по формуле приведения

cos4x/3 = cosx/3 - по формуле приведения

Возможно где-то ошибся,но тип решения такой, и должно получится,что F'(x) = sinx/3*cosx

Тогда будет доказано,что это первообразная