Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите найти неопределённый интеграл
    [tex] \int\limits { \frac{dx}{ \sqrt{ e^{2x} + e^{x}+1}} } [/tex]

Ответы 1

  • Самый кондовый способ       \int\limits {\frac{dx}{\sqrt{e^{2x}+e^x+1}}} = \int\limits { \frac{dx}{\sqrt{(e^{x}+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}} } = \\\\ e^x+\frac{1}{2}=u\\ e^xdx=du\\\\ \int\limits{\frac{du}{(u-\frac{1}{2})\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}}}\\\\ u=\frac{\sqrt{3}}{2}tga\\\\ du=\frac{\sqrt{3}da}{2cos^2a}\\\\ \int\limits {\frac{\frac{\sqrt{3}da}{2cos^2a}}{(\frac{\sqrt{3}tga}{2}-\frac{1}{2})\sqrt{\frac{3}{4}(tg^2a+1)}}}\\ Подставляя получаем   \int\limits{\frac{2da}{\sqrt{3}sina-cosa}} воспользуемся универсальной тригонометрической заменой  sina=\frac{2t}{1+t^2}\\ cosa=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ da=\frac{2dt}{1+t^2}\\\\ \int\limits {\frac{\frac{4dt}{1+t^2}}{\sqrt{3}*\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}} =\\\\ \int\limits {\frac{4dt}{t^2+2\sqrt{3}t-1} }=\\\\ \int\limits{\frac{4dt}{(t+\sqrt{3})^2-4}} = |t+\sqrt{3}=z ; \ \ \ dt=dz\\\\ \int\limits{\frac{4dz}{z^2-4}}=ln(2-z)-ln(2+z)+C=\\\\ ln(2-t-\sqrt{3})-ln(2+t+\sqrt{3})+C=\\\\ Заменяя на t и u получаем  Ответ x-ln(2\sqrt{e^{2x}+e^x+1}+e^x+2)+C   

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years