[tex] x^{2} + x -6= \frac{6}{ x^{2} +3x-4} [/tex]

Заметим, что x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3), x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4).Домножим обе части на знаменатель:(x - 2)(x - 1)(x + 3)(x + 4) = 6 (Кстати, отсюда чётко видно, что об ОДЗ можно не беспокоиться, так как (x - 1)(x + 4) не равно нулю)Перемножим первую и последнюю скобки, вторую и третью:(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 2x - 3) = 6Замена: x^2 + 2x + 1 = y, y >= 0(y - 9)(y - 4) = 6y^2 - 13y + 36 = 6y^2 - 13y + 30 = 0У этого уравнения есть два неравных положительных корня (сумма и произведение положительны по формулам Виета). Тогда у исходного уравнения - 4 неравных вещественных корня. Их произведение легко найти - оно равно свободному члену многочлена (x - 2)(x - 1)(x + 3)(x + 4) - 6, т.е. 2 * 1 * 3 * 4 - 6 = 18.Ответ. Произведение корней равно 18.P.S. Можно и дорешать уравнение "честно". Корни уравнения на y - это 3 и 10. Тогда, возвращаясь к иксам, получимx = -1 +- sqrt(3); -1 +- sqrt(10).Произведения корней каждого квадратного уравнения можно было найти и по формулам Виета. Но, так или иначе,(1 + sqrt(3))(1 - sqrt(3))(1 + sqrt(10))(1 - sqrt(10)) = (1 - 3)(1 - 10) = 2 * 9 = 18.P.P.S. Как и предлагал в обсуждении mmb1, можно, увидев выражение (x - a)(x - b)(x - c)(x - d), свести его к "разности квадратов", т.е. к виду ((x - u)^2 - l)((x - u)^2 - m). Раскрывая скобки в тождестве((x - u)^2 - l)((x - u)^2 - m) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d),получим:x^4 - 4u x^3 + (...) = x^4 - (a + b + c + d) x^3 + (...) (В скобках нет степеней икс выше второй)Отсюда u = (a + b + c + d) / 4, и делать нужно замену y = x - u = x - (a + b + c + d)/4.Здесь (a + b + c + d)/4 = (2 + 1 - 3 - 4)/4 = -1, и уравнение превращается в квадратное относительно (x + 1)^2.