[tex]sin 3x-2sin18xsinx=3 \sqrt{2}-cos3x+2cosx [/tex]

ого!го!..

Ну, вот задание такое интересное) Спасибо за него автору!

Какой молодец!!!

Что скажешь он учитель! Умный и опытный человек.

Ох... Ну что ж, раз никто не решился, давайте я попробую.Представляем уравнение в равносильном видеsin 3x + cos 3x = 3√2 + 2(sin 18x · sin x + cos x).Воспользуемся дважды неравенством Коши – Буняковского(a1b1 + a2b2)2 ≤ (a12 + a22)(b12 + b22).Тогда (sin 3x + cos 3x)2 ≤ (12 + 12)(sin2 3x + cos2 3x) = 2,(sin 18x · sin x + cos x)2 ≤ (sin2 18x + 12)(sin2 x + cos2 x) ≤ 2.Следовательно, sin 3x + cos 3x ≤ √2 и sin 18x · sin x + cos x ≥ -√2.Если принять во внимание уравнение sin 3x + cos 3x = 3√2 + 2(sin 18x · sin x + cos x), заметим, что равенство в нем может достигаться лишь в том случае, когда обе его части равны √2.Таким образом, получаем систему уравненийsin 3x + cos 3x = √2,sin 18x · sin x + cos x = -√2.Так как -1 ≤ sin 18x ≤ 1 и -√2 ≤ sin x + cos x ≤ √2,то равенство sin 18x · sin x + cos x = -√2 имеет место лишь в том случае, когда sin 18x = 1 и sin x + cos x = -√2 или sin 18x = -1 и sin x – cos x = √2.Следовательно, из системы уравнений получаем совокупность двух систем уравнений:sin 3x + cos 3x = √2,sin 18x = 1,sin x + cos x = -√2.Илиsin 3x + cos 3x = √2,sin 18x = -1,sin x – cos x = √2.Она равносильна более простой совокупности систем уравнений:sin (3x + п/4) = 1,sin 18x = 1,sin (x + п/4) = -1илиsin (3x + п/4) = 1,sin 18x = -1,sin (x – п/4) = 1.Решая уравнения каждой системы данной совокупности, получаем:x = п/12 · (8n + 1),x = п/36 · (4m + 1),x = п/4 · (8k – 3)или{x = п/12 · (8n + 1),x = п/36 · (4m – 1),x = п/4 · (8k + 3),где n, m, k – целые числа.Теперь необходимо построить пересечение множеств решений каждого из уравнений систем совокупности.Рассмотрим первую систему уравнений совокупности.Пусть п/12 · (8n + 1) = п/36 · (4m + 1). Тогда 3 · (8n + 1) = 4m + 1 и 12n + 1 = 2m.Так как для произвольных целых n и m левая часть равенства 12n + 1 = 2m является нечетной, а правая его часть – четной, то данная система уравнений является несовместной.Рассмотрим вторую систему уравнений совокупности.Пусть п/12 · (8n + 1) = п/36 · (4m – 1). Отсюда 3 · (8n + 1) = 4m – 1 и 6n + 1 = m. Тогда х = п/36 · (4m – 1) = п/36 · (4 · (6n + 1) – 1) = п/12 · (8n + 1).Далее построим пересечение с множеством решений третьего уравнения, т.е. пусть п/12 · (8n + 1) = п/4 · (8k + 3).Отсюда получаем 8n + 1 = 3 · (8k + 3) и n = 3k + 1.Тогда результатом пересечения множеств решений всех трех уравнений второй системы уравнений совокупности являетсях = п/12 · (8n + 1) = п/12 · (8 · (3k + 1) + 1) = п/4 · (8k + 3), где k – целое число.И, наконец, ответ: п/4 · (8k + 3), где k – целое число.

Я чувствую что это задача решается так   Рассмотрим функцию   Откуда максимальное значение  .  Найдем теперь минимальное значение функций    Теперь  не будем ее решать , и просто подставим значения   и получим что  производная принимает          .  более того  в этой точки она принимает минимальное значение  равной  что верно  откуда   То есть верно   Ответ