углы [tex] \alpha [/tex] и [tex] \beta [/tex] положительные, острые:[tex]cos \alpha =

углы [tex] \alpha [/tex] и [tex] \beta [/tex] положительные, острые:
[tex]cos \alpha = \frac{1}{7} [/tex]; [tex]cos( \alpha + \beta )=- \frac{11}{14} [/tex]
Найдите значение cos[tex] \beta [/tex]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  emilieqyev
- 6 лет назад

Ответы 1

По формуле суммы аргументов косинуса: $cos( \alpha + \beta )=cos \alpha *cos \beta -sin \alpha *sin \beta$ Выразим $cos \beta$ $cos \beta = \frac{cos( \alpha + \beta )+sin \alpha *sin \beta }{cos \alpha }$ Необходимо найти синусы углов. Т.к. α и β - положительные и острые, значит они находятся в 1 четверти, где синус и косинус положительные. Найдем синусы из основного тригонометрического тождества: $sin \alpha = \sqrt{1-cos^{2} \alpha }$ $sin \beta = \sqrt{1-cos^{2} \beta}$ $sin \alpha = \sqrt{1- \frac{1}{49} }= \sqrt{ \frac{48}{49} } = \frac{ \sqrt{48}}{7}$ $cos \beta = \frac{- \frac{11}{14} + \frac{ \sqrt{48}}{7}* \sqrt{1-cos^{2} \beta}}{ \frac{1}{7} } =- \frac{7*11}{14} + \frac{7* \sqrt{48}}{7}*\sqrt{1-cos^{2} \beta} =$ $- \frac{11}{2} + \sqrt{48}* \sqrt{1-cos^{2} \beta }$ Перенесем слагаемые так, чтобы слева остался квадратный корень, а справа - все остальное: $\sqrt{48*(1-cos^{2} \beta) } =cos \beta + \frac{11}{2}$ Возведем обе части в квадрат (можно сделать, т.к. обе части неотрицательные): $48*(1-cos^{2} \beta )=cos^{2} \beta +11cos \beta + \frac{121}{4}$ $48*-48cos^{2} \beta- cos^{2} \beta -11cos \beta - \frac{121}{4}=0$ $-49cos^{2} \beta -11cos \beta + \frac{71}{4}=0$ - домножим обе части на -4 $196cos^{2} \beta +44cos \beta -71=0$ Замена: cosβ=t∈[0;1] $196t^{2}+44t-71=0, D=57600=240^{2}$ $t_{1} = \frac{-44+240}{2*196} = \frac{1}{2}$ $t_{2}<0$ - посторонний корень.Ответ: cosβ=0.5
- Автор:
  martin5
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ