sin a + sin b    и    sin(a+b) это одно и то же?

Это не одно и то же. 

сумма синусов и синус суммы это разные вещи как и разностьэто формулы тригонометрииsin(a+b)=sinacosb+sinbcosasina+sinb=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2