Выясните, делится ли на 3 число 1+2+22+...+22011+22012.

Ну во-первых, похоже, что задание записано с ошибкой

Это ряд 2^0+2^1+2^2+...+2^2011+2^2012 или 1+2+2^2+...+2^2011+2^2012

Обычно подобную задачу дают на олимпиаде и связывают с текущим годом, в данном случае 2012.

При перезаписи возникла ошибка, так как степени слились с основанием, поэтиому и получилось что-то вроде 1+2+22+...+22011+22012

Правильный вариант решается через запись  2^2013-1, которая соответствует этому ряду. А для формулы 2^n-1 признак делимости на 3 соблюдяется только для чётных степеней. Поэтому данное число, представленное рядом 2^0+2^1+2^2+...+2^2011+2^2012  не делится на 3.

Но можно решить задачу и с искажённым условием 1+2+22+...+22011+22012

Здесь можно найти зависимость, но она очень сложная и это не школьный уровень. Ряд слагаемых будет следующим:

1+2+22+23+350+351+22011+22012

И число, образованное этой суммой делится на 3!