Нид ХЭЛП.
докажите что:
-√2 ≤ a+b ≤ √2,
если [tex] a^{2} + b^{2} =1[/tex]

ну так верно sqrt(a^2*b^2)=ab

Ах ну да. Не подумал

а если одно a<0, b>0, то получается корень равен отрицательному a*b, но это не так

ну с другой стороны получится модуль a*b <= 1/2, значит само ab >= -1/2 и <= -1/2, а 2ab >=-1 и <= 1...

Вот выход из вашего положения

1  cлучай:   a и b  одинаковых знаков ab>=0Воспользуемся неравенством:  о  средних(x+y)/2>=√xy|ab|=ab<=(a^2+b^2)/2=1/2  2ab<=1Преобразуем:(a+b)^2-2ab=1(a+b)^2=1+2ab<=2Откуда|a+b|<√2    -√2<=a+b<=√2ЧТД2  cлучай: a и b разных  знаков.Тут  уже поинтересней:имеем:a^2=1-b^2<=1  тк  b^2>0 |a|<=1Анологично |b|<=1тк  одно  положительное другое отрицательное,то  можно сделать оценку:0 <=a<=1-1<=b<=0Сложим эти сравнения:  -1<=a+b<=1А  значит  и верно  что   -√2<a+b<√2  что  удовлетворяет рамкам неравенства.тк √2>1чтдЗаметим что равенство выполняется  когда a=b=+-1/2