На какую цифру оканчивается число 53 в степени 2012?

Анализируем:

53^1 - оканчивается на 3

53^2 - на 9

53^3 - на 7

53^4 - на 1, далее все повторяется.

Разложим степень 2012 на множители

2012 = 4 * 503

503 = 4 * 125 + 3

125 = 4 * 31 + 1

31 = 4 * 7 + 3

7 = 4 + 3

Получаем:

[[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3]^4

Опираемся на анализ выше: 53^4 оканчивается на 1, 53^3 - на 7. Следовательно, произведение 53^4 * 53^3 оканчивается на 7.

7^1 - оканчивается на 7

7^2 - на 9

7^3 - на 3

7^4 - на 1.

(53^4 * 53^3)^4 - оканчивается на 1

((53^4 * 53^3)^4 * 53^3) - оканчивается на 7

((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 - оканчивается на 1

[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53] - оканчивается на 3

[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 - оканчивается на 1

[[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3] - оканчивается на 7

[[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3]^4 - оканчивается на 1

Следовательно, 53^2012 оканчивается на 1