Пусть k-это любое натуральное число.Докажите,что 7+7^2+7^3+7^4+...+7^4k делится на 400 

Рассмотрим элементы  по отдельности.Можно заметить, что они являются членами геометрической прогрессии, где каждый элемент больше последующего в 7 раз. Следовательно, это есть сумма геометрической прогрессии с  элементов..Получили, что нужно доказать кратность выражения ..Докажем кратность методом математической индукции (2 этапа):1. Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P(1).2. Этап доказательства: предполагается, что предложение P(n) истинно, и доказывается истинность предложения P(n + 1) (n увеличено на единицу).Рассмотрим 1ый шаг при :Доказано при  выполняется.Рассмотрим 2ой шаг при .Что и требовалось доказать.