какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов ар. прогрессии, если а21=33, а27=9

какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов ар. прогрессии, если а21=33, а27=9
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  gisela
- 6 лет назад

Ответы 1

По свойству арифметической прогрессии:

$a_n= a_1-(n-1)d$

У нас известно 2 члена арифметической прогрессии, составим из них систему и найдем $d$ и $a_1$ :

$\left \{ {{a_1+20d=33} \atop {a_1+26d=9}} ight.$

Выражаем ихз первого $a_1$ и получаем:

$a_1=33-20d$

Подставляем во второе и получаем:

$33-20d+26d=9 \\ 6d+33=9 \\6d=-24 \\d=-4$

Подставляем d в выражение для $a_1$ и получаем:

$a_1=33-20\cdot(-4)=33+80=113$

Теперь напишем формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

теперь подставляем в это выражение найденные числа и получаем:

$S_n=\frac{226-4(n-1)}{2}\cdot n = \\ =(\frac{226-4n+4}{2})\cdot n= \\ =(\frac{230-4n}{2})\cdot n= \\ =(115-2n)n=-2n^2+115n$

Получилась функция, которая зависит от n.

Нужно найти ее максимум:

Поскольку это парабола ветви которой направлены вниз (потому что перед $n^2$ стоит отрицательный коэффициент), то максимумом у нее будет точка, где производная принимает значение равное 0.

Найдем производную по n от этой функции:

Получим:

$S'(n)=(-2n^2+115n)'_n=-4n+115$

Теперь надо найти где она равно 0.

Решаем уравнение: $-4n+115=0$ получаем: $n=\frac{115}{4}=28,75$

Теперь осталось выяснить какое n нам взять. n=28 или n=29.

Для этого надо просто вычислить значение суммы при n=28 и при n=29

$S(n)=-2n^2+115n \\ S(28)=-2\cdot 28^2+115\cdot28=-1568+3220=1652 \\ S(29)=-2\cdot 29^2+115\cdot29=-1682+3335=1653$

Как мы видим S(29)>S(28),

значит при n=29 сумма принимает максимальное значение равное 1653

Ответ: максимальное значение суммы первых n членов арифметической прогрессии равно 1653 и достигается при n=29
- Автор:
  natalia6pfn
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ