1. Найдите все тройки целых чисел l, m, n для которых выполняется равенство [tex]l^{2}+m^{2}+n^{2}-2l+4m-6n=-11[/tex].

2. В пяти кружках занимаются всего 8 школьников, причем нет двоих школьников А и Б, для которых выполняется условие: все кружки, которые посещает А, посещает и Б. Докажите, что каждый школьник занимается в 2х или 3х кружках.

добавим к обоим частям уравнений +1 +4 +9 и перегруппируем так, чтобы видеть квадраты двучленов

теперь выделяем квадраты

так как l, m, n целые числа, то целыми будут числа l-1,m+2,n-3  и их квадраты, при этом квадраты равны либо 0 либо 1 (квадраты целых чисел либо 0 либо натуральное число) потому что если хотя бы один из квадратов равен 4=2^2 или больше то л.ч.уравнения больше за правую и искомых троек чисел не существует

но так как из всех возможных 8 сумм из 0 и 1, только 1+1+1=3

то

откуда l-1=1 или l-1=-1

m+2=1 или m+2=-1

n-3=1 или n-3=-1

значит l=2 или l=0,  m=-1 или m=-3, n=4 или n=2

итого восемь пар решений (l;m;n)

(2;-1;4)

(2;-1;2)

(0;-1-;4)

(0;-1;2)

(2;-3;4)

(2;-3;2)

(0;-3;4)

(0;-3;2)

вторая задача

обозначим учеников через 1,2,..8, а кружки через А,Б,В,Г,Д

не ограничивая общности если 1й ходит только в кружок А, то остальные в кружок А ходить не могут, иначе сразу противоречие (если например второй ходит в кружок А и другой кружок, например Б, то он ходит во все кружки в которые ходит 1, что невозможно)

  т.е. ученики ходят минимум в 2 кружка (могут и в большее).

никто из ребят не может ходить сразу во все пять кружков, иначе он будет ходить во все кружки которые ходит любой другой из ребят

Далее если например 1й ученик ходит в 4 кружка (например А,Б,В,Г), то 

никто не может ходить в комбинацию двух или трех кружков из кружков А,Б,В, Г так как 1й будет ходить во все кружки что и второй

остаются возможными варианты Б,Е или В,Е, или Г,Е или А,Е или А,Б,Е, или Б, В, Е, или В,Г, Е, или А,Г,Е или Б, В, Г, Е или А, Б, В, Е, или А,Г, В,  Е или А, Б, Г, Е

если 2й ходит в 2 кружка из оставшихся например Б,Е , то исключая противоречивые согласно условию остаются возможными 6 вариантов  или В,Е, или Г,Е или А,Е или В,Г, Е, или А,Г,Е или А,Г, В,  Е (среди которых есть противоречивые например В,Е и А,Г, В, Е) и вариантов получается меньше чем 6, и для какогото из учеников не остается варианта выбора

если 2й ходит в 3 кружка, например А,Б,Е, то исключая остаются возможности для других учеников или В,Е, или Г,Е или В,Г, Е, или А,Г,Е или Б, В, Г, Е или А,Г, В,  Е - 6 возможностей , среди которых есть противоречивые (например Г,Е и А,Г, В, Е) и возможностей получается меньше чем оставшихся учеников.

если 2й ходит в 4 кружка например  Б, В, Г, Е, то исключая согласно условию остаются возможности или А,Б,Е или А,Г,Е или А, Б, В, Е, или А,Г, В,  Е или А, Б, Г, Е - 5 возможностей - меньше чем оставшихся учеников. Следовательно и такой вариант событий не подходит.

Таким образом получаем что не один ученик не может ходить в четыре кружка.

Обьединяя получаем искомое, что согласно правилам и условию каждый школьник занимается в 2х или 3х кружках.

такое возможно

например

1 - А,Б, 2 - Б,В, 3 - В,Г, 4 - Г,Д, 5 -Д,Е 6 - А,Е, 7 - Б,Е 8 - Г,Е