Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • доказать что модуль х-у/1-ху меньше 1, если модуль х и модуль у меньше 1

Ответы 1

  • Нужно доказать, что \frac {|x-y|}{|1-xy|}<1

    так как левая и правая части неотрицательны, это неравенство равносильно следующему (поднесем обе части к квадрату, чтобы избавиться от модуля так как |a|^2=a^2)

     

    \frac {(x-y)^2}{(1-xy)^2}<1; \frac {x^2-2xy+y^2}{1-2xy+x^2y^2}-1<0; \frac {x^2-2xy+y^2-(1-2xy+x^2y^2)}{(1-xy)^2}<0;

    \frac {x^2-2xy+y^2-1+2xy-x^2y^2}{(1-xy)^2}<0; \frac {x^2+y^2-1-x^2y^2}{(1-xy)^2}<0;

     

    так как (1-xy)^2>0 (0 не может быть потому что знаменатель не может быть равным 0, а квадрат выражения всегда неотрицателен),

    то нужно доказать что справедливо неравенство

    x^2+y^2-1-x^2y^2<0; -(1-x^2)+y^2(1-x^2)<0; (y^2-1)(1-x^2)<0;

    то справедливо так как (y^2-1<0; y^2<1; |y|<1) (|x|<1; x^2<1; 1-x^2>0)

    (один из множителей отрицателен, другой положителен - значит и произведение отрицательное).

    Таким образом цепочкой равносильных преобразований мы пришли к справедливому неравенству. Доказано

    • Автор:

      benji
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years