Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Решить дифференциальное уравнение
    y''-3y'+2y=e^x

Ответы 1

  • Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Откинем правую часть и приравняем к нулю.y''-3y'+2y=e^x \\ y''-3y'+2y=0 \\ \lambda^2-3\lambda+2=0 \\ D=1 \\ \lambda_1=1;\lambda_2=2 \\ Y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}Теперь необходимо найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения.Ищем частное решение в виде \tilde y=(Ax^2+Bx)e^x \\ \tilde y'=((Ax^2+Bx)e^x)'=(Ax^2+Bx)'e^x+(Ax^2+Bx)e^x'= \\ =(2Ax+B)e^x+(Ax^2+Bx)e^x=(Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x \\\tilde y'' =((Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x )'= \\ =(Ax^2+Bx+2Ax+B)'e^x+(Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x'= \\ =(2Ax+B+2A)e^x+(Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x= \\ =(Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A)e^xВыполняем подстановку в наше изначальное диф. ур-ние:y''-3y'+2y=e^x \\ (Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A)e^x-3((Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x)+ \\ +2(Ax^2+Bx)e^x=e^x \\ (Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A-3(Ax^2+Bx+2Ax+B)+ \\ +2(Ax^2+Bx))e^x=e^x \\ (4Ax+2B+2A-6Ax-3B)e^x=e^x \\ (-2Ax-B+2A)e^x=e^x \\ -2A=0=>A=0 \\ 2A-B=1Зная А найдем В, и будем иметь частное решение:A=0:2*0-B=1=>-B=1=>B=-1 \\ \tilde y=(Ax^2+Bx)e^x=(0*x^2+(-1)x)e^x=Составляем теперь общее решение неоднородного уравнения:y=Y+\tilde y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}-xe^x, \ C_1, C_2=const
    answer img
    answer img

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years