Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • 1)Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными xy'+y=0
    2)Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (1-x^2)dx/dy + xy =0, если x=0, y=4.
    3)Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка x^2 +y^2-2xy*y'=0
    4)Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y"- 4y'+ 4y=0,
    5)Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка y"+4y'-5y=0, если x=0, y=4, y'=2

Ответы 1

  • 1) xy'+y=0Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производнойy'=- \dfrac{y}{x} - уравнение с разделяющимися переменнымиВоспользуемся определением дифференциала \dfrac{dy}{dx} =- \dfrac{y}{x} \\ \\ \dfrac{dy}{y} =- \dfrac{dx}{x} Интегрируя обе части уравнения, получаем\ln|y|=\ln| \frac{1}{x} |+\ln C\\ \\ \ln|y|=\ln| \frac{C}{x}| y= \dfrac{C}{x} - общее решение(1-x^2) \frac{dx}{dy} +xy=0\\ \\ (1-x^2) \frac{dx}{dy} =-xyРазделяем переменные \dfrac{(x^2-1)dx}{x} = ydyинтегрируя обе части уравнения, получаем-\ln|x|+ \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{y^2}{2} +C - общий интегралРешение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существуетПример 3. x^2+y^2-2xy\cdot y'=0Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.(\lambda x)^2+(\lambda y)^2-2\cdot\lambda x\cdot \lambda y\cdot y'=0 |:\lambda^2\\ \\ x^2+y^2-2xyy'=0Итак, дифференциальное уравнение является однородным.Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену y=ux, тогда y'=u'x+uПодставляем в исходное уравнениеx^2+u^2x^2-2x\cdot ux(u'x+u)=0\\ \\ x^2(1+u^2-2uu'x-2u^2)=0\\ \\ x=0\\ \\ 1-u^2-2uu'x=0\\ \\ u'= \dfrac{1-u^2}{2ux} Получили уравнение с разделяющимися переменнымиВоспользуемся определением дифференциала \dfrac{du}{dx} =\dfrac{1-u^2}{2ux}Разделяем переменные \dfrac{du^2}{1-u^2} = \dfrac{dx}{x} Интегрируя обе части уравнения, получаем\ln\bigg| \dfrac{1}{1-u^2} \bigg|=\ln|Cx| \dfrac{1}{1-u^2} =CxОбратная замена \dfrac{x^2}{x^2-y^2} =Cx - общий интегралПример 4. y''-4y'+4=0Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.Воспользуемся методом ЭйлераПусть y'=e^{kx}, тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:k^2-4k+4=0\\ (k-2)^2=0\\ k_{1,2}=2Тогда общее решение будет иметь вид:y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x} - общее решениеПример 5. y''+4y'-5y=0Аналогично с примером 4)Пусть y=e^{kx}, тогда получаемk^2+4k-5=0\\ (k+2)^2-9=0\\ \\ k+2=\pm 3\\ k_1=1\\ k_2=-5Общее решение: y=C_1e^{x}+C_2e^{-5x}Найдем производную функцииy'=C_1e^x-5C_2e^{-5x}Подставим начальные условия\displaystyle \left \{ {{4=C_1+C_2} \atop {2=C_1-5C_2}} ight. \to \left \{ {{C_1=4-C_2} \atop {2=4-C_2-5C_2}} ight. \to \left \{ {{C_1= \frac{11}{3} } \atop {C_2=\frac{1}{3} }} ight. y=\frac{11}{3} e^x+\frac{1}{3} e^{-5x} - частное решение

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years