• Кто вторым напишет верное решение, получит еще и "лучший ответ" :)

     

    Дана последовательность натуральных чисел [tex]x_1,\ x_2,\ \dots[/tex], причем [tex]2013^{2012}\leqslant x_1\leqslant2012^{2013}[/tex], x1 не делится на 5, а для всех остальных членов существует формула

    [tex]x_{n+1}=x_n+y_n,[/tex] где [tex]y_n[/tex] - последняя цифра числа [tex]x_n[/tex].

    Доказать, что среди членов последовательности [tex]x_n[/tex] бесконечно много степеней двойки.

     

Ответы 1

  • По условию посдедняя цифпа числа х1 не 0 и не 5 (иначе делится на 5), а значит цифра y1 равно либо 1,2,3,4,6,7,8 или 9, тогда последняя цифра числа х2 а значит и число y2 равны либо 2, 4, 6, либо 8

     

    Так как ..2+2=...4;

    ...4+4=..8

    ..6+6=...2

    ...8+8...=6

    то последовательность y2, y3,y4, .... является периодичной с периодом 4.

     

    Поэтому для любого n>1 a_{n+4}=a_n+(2+4+6+8)=a_n+20

    а для любого t>1 a_{n+4t}=a_n+(2+4+6+8)t=a_n+20t

     

    Любое число a_n, n>2 получается имеет вид

    a_n=10m+2 либо a_n=10m+4 либо a_n=10m+6 либо a_n=10m+8 где m -некоторое неотрицательное целое число

     

    С двух членов последовательности a_n=10m+2 и  a_{n+1}=10m+4 хотя бы одно делится на 4. Запишем его в виде

    a_n=4l

    Тогда a_{n+4t}=4(l+5t)

     

    Среди чисел вида l+5t бесконечно много степеней двойки так как остатки от деления на 5 степеней двойки образуют переодическую последовательность 1,2,4,3,1, ...   и значит , бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число l

     

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years