найдите наименьшее значения произведения P=cosx*cosy*cos(x+y)

найдите наименьшее значения произведения P=cosx*cosy*cos(x+y)
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  lawrencewolf
- 4 года назад

Ответы 7

я когда увидел эту задачу , сразу же это м идея пришла
- Автор:
  friedman
- 4 года назад
- 0
Вот это да! А я когда увидел начел вломось преобразовывать пример в сумму. Но в решении с дифференцированием по одной переменной это помогает.
- Автор:
  babeoeae
- 4 года назад
- 0
И сдался :)
- Автор:
  braelynhouston
- 4 года назад
- 0
Главное чтобы тут разобрался автор
- Автор:
  kaylin
- 4 года назад
- 0
да
- Автор:
  mateo919
- 4 года назад
- 0
Преобразуем функцию:P=cosx*cosy*cos(x+y)=1/2* (сos(x+y) +cos(x-y))*cos(x+y)= 1/2*(cos^2(x+y)+cos(x+y)*cos(x-y))=1/4*( (cos(2x+2y)+1+cos(2y)+cos(2x))Возьмем производную по x и приравняем к нулю:-1/2*(sin(2x+2y)+sin(2x))=0sin(2x+2y)+sin2x=0sin(2x+y)*siny=0Очевидно что минимум будет когда:sin(2x+y)=02x+y=π*ny=π*n-2x (Тк функция симметричная то рассматривать производную по у не имеет смысла)Это минимум функции при произвольно взятой константе y. То чтобы найти наименьшее значение всей функции,нужно найти наименьшее из наименьших значений при разных y.И так подставляя наш результат в исходную функцию применив формулы приведения получим:P=1/4*(1+cos2x+cos(-2x+π*n)+cos(-x+π*n))= 1/4*(1+2*cos(2x)+cos(4x))=1/4*(1+2*cos(2x)+2*cos^2(2x)-1)=1/2*(cos^2(2x)+cos(2x))пусть : сos(2x)=w |w|<=1P=1/2*(w^2+w)w^2+w-парабола с вершина wв=-1/2 |w|<1 (верно) значит в этой точке и будет минимум тк ветви идут вверх.Откуда: min(P)=1/2*(1/4-1/2)=-1/8Ответ:-1/8
- Автор:
  marley80
- 4 года назад
- 0
$P=cosx*cosy*cos(x+y)\\$ Рассмторим треугольник $a,b,c$ , положим что он существует Впишем углы $x;y$ По теореме косинусов выразим углы $cosy=\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\\ cosx=\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\\$ $cos(x+y)=\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}$ $\frac{1}{8}*\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2}$ То есть надо найти такое число , если оно существует , что $\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2}$ является дробной числом,то есть переходим к нахождению минимального значения этой дроби . Теперь по неравенству о средних $\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{11} =$ $\frac{a^6+b^6+c^6+a^4(-b^2-c^2)+b^4(-a^2-c^2)+c^4(-a^2-b^2)+a^2b^2c^2+a^2b^2c^2}{11}\geq$ $\sqrt[11]{a^{22}*b^{22}*c^{22}}=-a^2b^2c^2$ то есть получим $min \frac{1}{8}*-1=-\frac{1}{8}$ , причем выполняется тогда когда $a=b=c$
- Автор:
  louisydvr
- 4 года назад
- 0
Добавить свой ответ