My mom says she'll never forget meeting my dad for the time. Объяснить почему meeting, а не to meet или she met.

может быть, потому что "она не может забыть (что?) встречу(!)" meeting! А "to meet" обозначает "встречаться". а "met" обозначает "встретила". Эта же мысль может быть выражена след.образом: "She will never forget the moment, when she met my dad for the first time". Но ведь ваш вариант намного короче и выразительнее, правда?