Что выбрать и почему:
Why do you always start things too ____ ?
late
lateness
lately

Вот как раз lately это точно наречие (не может быть прилагательным), а late бывает еще и прилагательным.

Поэтому по Вашей логике выходит выбор между наречием late и наречием lately, и вот это мне не понятно.

правильно будет написать Why do you always start things too late. Потому что late - это наречие переводящиеся как поздно, а остальное сущ. и прилагательное. Все просто