Почему Kate wants to play, но Kate can play?

глагол can является модальным, а у модальных глаголов не добавляется окончание -s в 3 лице единственного числа. После модальных глаголов смысловой глагол ставится без частицы to.

Потому что can - модальный глагол, после него смысловой глагол употребляется без частицы to. А после смысловых глаголов перед следующим за ним глаголом частица to нужна.