Добрый день. Уже часто вижу примеры когда слова пишется с апострофом `. При этом окончание ing не дописывается на одну букву. Например, есть такая песня stayin` alive или слоган макдональдс i am lovein` it. Расскажите, пожалуйста, про это правило, как и когда его использовать.

Как такового правила нет,это так называемое «сокращение»,когда слова сокращают ,а вместо буквы пишут апостроф.В основном это присуще неформальному письму или устной речи.