It was cooked over .... open fire.
Нужен ли на месте точек артикль an?

думаю нет, так как этот артиклю употребляется только перед исчисляемыми существительными, а fire, то есть огонь-не исчисляемое)

Я тоже согласна  неопределенный артикль a/an произошел от числительного one, и употребляется только с исчисляемыми существительными в единственном числе.