I did not, почему дальше пишется глагол в настоящем времени(I did not run)?

Поскольку прошедшее время уже употребилось, i DID not run, а 2 раза употреблять прошедшее время нельзя

Потому что это правило Past Simple: в отрицательных придложения пишется вот так: did not + V1(глагол в первой форме).Например:She didn't help me(она не помогла мне);We didn't play computer games(мы не играли в компьютерные игры).