як можна на північному полюсі землі визначити напрямок на південь

Всё правильно, за исключением одного. В условии всё происходит на Северном Полюсе! А там любое направление - юг!

Напрямок на південь можна визначити так: момент верхньої кульмінації Сонця можна визначити за допомогою палички, яку треба встановити перпендикулярно до горизонту. Для визначення кульмінації треба уважно слідкувати за довжиною тіні. Коли Сонце розташоване над точкою півдня, тінь указує напрямок на північ і має найменшу довжину. Опівдні тінь від палички спрямована на північ.