Для того чтобы правильно написать безударную гласную в корне слова \"домашнее\", нужно найти к нему проверочное слово, где безударная гласная будет стоять под ударением (т.е. в сильной позиции). Таким проверочным словом будет являться слово \"дом\" или \"домик\".