В данном предложении слово \"тем\" является указательным местоимением (в форме именительного падежа оно будет звучать как \"те\"). Правильное написание: Наблюдала за тем , что происходило вокруг.Также \"тем\" может быть союзом в сравнительной степени (тем более...). Но могут возникать и затруднения в слове \"затем\", если оно используется как наречие (Затем я и пришла к подруге, чтобы она помогла мне разобраться с этим вопросом), в этом случае оно пишется слитно.