Какая грамматическая основа? А мне Москва январская мила и всю Москву знобило.

В первом предложении основа - Москва мила. Москва - подлежащее, мила - сказуемое, выраженное кратким прилагательным.Во втором предложении основа - Знобило. Данное предложение является односоставным, состоит оно только из сказуемого, всё Москву - второстепенные члены предложения.