Часть речи: стали - глагол, ухаживать - неопределенная форма глагола (инфинитив). Член предложения: стали ухаживать - составное глагольное сказуемое, основная часть выражена глаголом прошедшего времени множественного числа - стали, вспомогательная часть выражена инфинитивом - ухаживать.