Льва принято считать царем зверей. Поэтому льву, как царю, должна принадлежать самая большая часть (доля) добычи хищников всего животного мира. Я думаю, что выражение \"львиная доля\" обозначает бо`льшую, самую крупную из всех частей чего-либо.Например: \"львиная доля преступлений совершается в темное время суток\".