Как правильно нужно говорить и писать" проехать на машине по двору или проехать на машине во дворе"?

Правильно: проехать на машине по двору. «Проехать по двору» значит пересечь один двор или его часть — Проехать по нашему двору. Приставка ПРО здесь имеет значение передвижения на какое-то расстояние, а предлог ПО обозначает направление этого движения (по территории двора). «Проехать во дворе» значит совершить передвижение возможно и не в одном дворе (то же, что и проехать дворами, т. е. срезать путь) - Проехать во дворе домов по ул. ..... .