обдумывая1. Вычленяем окончание. Это деепричастие настоящего времени. Окончания нет.2. Основа все слово \"обдумывая\".3. Находим суффиксы. Деепричастия несовершенного вида образуются при помощи суффиксов \"-а-\", \"-я-\". В нашем примере - это суффикс \"-я-\". Находим второй суффикс. Для этого ищем слово, от которого образовалось данное - это глагол \"обдумывать\". В нем суффикс \"-ыва-\". Следовательно, в слове два суффикса: \"-я-\" и \"-ыва-\".4. Выясняем, есть ли приставка. Сопоставляем с родственными словами (обдумать, передумать). Можно отбросить \"об-\" и получим слово \"думать\", которое существует в русском языке. Значит, \"об-\" - это приставка.5. Делаем вывод: в слове корень \"-дум-\".