Проверочные слова подбираются к словам с орфограммами. Орфограмма — это сомнительное написание, которое соответствует правилам или проверяется по словарю. В слове спешат сомнение вызывает написание безударной гласной буквы е в корне -спеш- — это орфограмма \"Правописание безударных гласных в корне слова, проверяемых ударением\". Чтобы проверить написание безударной гласной в корне слова спешат, нужно подобрать к нему такое проверочное слово, в котором безударная гласная становится ударной: спешат — спешка.