Снегирь является словарным словом и надо просто запомнить что там буква е. Проверить снегиря снегом можно, но это не правильно и тоже самое как, например, проверять гвоздику гвоздём.
Существительное снегирь проверяется словом снег, ударение в проверочном слове на букву е, а так как в проверяемом слове мы пишем ту же гласную, что и под ударением в проверочном, поэтому снегирь пишем через букву е, проверочное слово нам это подтвердило.