Как пишется лучшем или лучшим .

Написание может быть разным, зависит это всё от падежа. Лучшем - это форма предложного падежа, например: вспоминаю о лучшем (каком?) друге, в этом случае пишем окончание ем. Если же лучшим - это форма творительного падежа, например: он был лучшим (каким?) другом, то пишем окончание им.