стали учиться -какой член в предложении?

Давайте поставим "стали учиться" в предложение: они (что сделали?) стали учиться. 

На вопрос, связанный с действием, совершенным предложением отвечает сказуемое. При этом надо понимать, что существуют разные типы сказуемоего: 

n
• простое глагольное сказуемое;
n
• составное сказуемое, которое делится на составное глагольное сказуемое и составное именное сказуемое. 
n

Именно к составному глагольному сказуемому и относится "стали учиться". Оно состоит из вспомогательного глагола, который несет грамматическое значение (глагол, обозначающий начало процесса - стали) и глагола в неопределенной форме, который несет лексическое значение (учиться).