Как правильно сказать: at the home или at home? This is the cat или This is cat?

1. At the home/at home – однозначно правильно «at home». Это устойчивое выражение, и употребляется без артикля. Артикль означает определенность или неопределенность предмета. Слово «home» переводится как «дом», но в отличие от слова «house» - тоже «дом», home означает родной дом, то есть это место не может быть менее или более определенным, оно не может быть «каким-то из».
2. This is the cat/this is cat – если выбирать из этих двух вариантов, то правильный «This is the cat». Но насчет артикля, то можно использовать также и неопределенный артикль «а», если имеется ввиду любой кот, а не какой-то конкретный.