The cat is climbing on/up the tree

The cat is climbing up the tree. 

Кошка (кот) карабкается по дереву (вверх).

Пояснение: глагол climb можно употреблять как с предлогом up, так и без него, потому что и так понятно что карабкаться (лазить) можно вверх. Словосочетания climb down не существует. Climb on больше русицизм.