Mr. Brown ... for the first time two years ago. a) registers. b) has registered. c) registered. d) would register. So

Mr. Brown (c) registered for the first time two years ago. - Впервые мистер Браун зарегистрировался 2 года назад.So last year he (b) didn\'t register. - Поэтому в прошлом году он не регистрировался.

В этих предложениях используется Past Simple: two years ago,  last year - выражения, употребляющиеся в прошедшем простом времени.

His colleagues also ask Mr. Brown why he has avoided (c) registering for classes. - Его коллеги спрашивают мистера Брауна, почему он избежал регистрации на занятия.

После глагола avoid следующий глагол упортребляется с -ing окончанием.