Без доброго слова, без теплого слова, без нежного слова - не лечат больного. Больного - какой падеж?

Здесь нужно смотреть глагольное управление или, проще говоря, задаться вопросом: не лечат – кого или что? Ответ: больного. Вопрос кого/что? соответствует винительному падежу (аккузативу). Аккузатив всегда обозначает объект действия (здесь: объект лечения).