Почему пишется having fun, singing, dancing?

Потому, что эти слова могут быть или причастием или герундием.Причастие – эта форма глагола, которая переводится деепричастием.Герундий – эта форма глагола, которая переводится существительным или глаголом.Примеры употребления причастия: While doing our homework we use a big dictionary. People looked at the nice singing girl. Coming to the big theatre, Peter saw that the great performance had already started.Примеры употребления герундия:Sleeping is useful. I like swimming in the sea. Have you finished skiing?