Как правильно написать со строгим юношей

«Со» является предлогом, поэтому пишется раздельно.

В прилагательном «строгим» гласная «о» стоит в сильной позиции, проверки не требуется; пишется окончание «им», потому что прилагательное отвечает на вопрос «каким?» (творительный падеж, единственное число, мужской род).

В существительном «юношей» гласная «ю» стоит под ударением, проверять не нужно; написание безударной «о» не проверяется, слово относится к словарным.

Примеры на орфограмму:

Кусачим (окончание «им», отвечает на вопрос «каким?»).

Лежачим (окончание «им», отвечает на вопрос «каким?»).