Мягонький или мягенький

Если разобрать оба варианта слова по составу, получим корень «мяг», суффикс «оньк» либо «еньк» и окончание «ий». Для написания таких суффиксов действует такое правило: если окончанием основы являются буквы «г», «к», и «х», то следует писать «о», после остальных согласных – «е». Примеры: легонький,  высоконький, махонький, сладенький, маленький, горяченький.

В данном случае основа заканчивается на «г». Значит, писать надо «мягонький».

И хотя в орфографических словарях можно встретить оба варианта написания, но вариант с суффиксом «еньк» является малоупотребительным.