как правильно пишется the theater или the theatre,и какая в этом слове разница.а вопрос звучит так:где британцы проводят

Theater - используется в речи американцев (американском варианте английского языка), а theatre - в речи британцев и представителей других англоговорящих стран (Австралия, Канада, Новая Зеландия, ЮАР и др.). Поэтому верными будут вопрос и ответ: Where are Britains spend their free time? They spend their free time at the theatre.