как правильно они борЮтся или они борЯтся

Борются - глагол, настоящее время, несовершенный вид, 3 лицо, множественное число; 1 спряжение, поэтому окончание \"ют\".

Примеры на орфограмму:

1. Моются;

2. Кроются.

Примеры предложений:

1. Родители как могут борются с болезнью моего  младшего брата, но, к сожалению, такое онкологическое заболевание как у него, вылечить очень трудно, а в нашей стране практически невозможно.

2. Наши сотрудники уже несколько месяцев борются с трудными задачами, которые появились в связи с открытием новых магазинов, но пока что без особого успеха.