В предложении «Том вышел на улицу с ведром извёстки и длинной кистью.»Нужно ставить запятую перед союзом «и»?

Нет, не нужно.

Союз в этом предложении не соединяет его части. Он служит для связи двух дополнений (с ведром извёстки и длинной кистью). Если бы здесь не было союза и, то на месте его пропуска нужно было поставить запятую. Нужно было бы поставить запятую и в том случае, если бы в предложении была два союза и. Например: и с ведром извёстки, и с длинной кистью.