Предлагает закурить - какой вид связи? управление или примыкание, или соглосование.

Вид связи в словосочетании определяется по вопросу от главного слова зависимому.

Всего выделяют три вида связи: согласование, управление, примыкание.

При согласовании задается вопрос Какой? и аналогичные (Чей?), при управлении - любой вопрос косвенного падежа (С кем?, Кому?, О ком?), при примыкании - вопросы Как?, Зачем?, Почему? и аналогичные.

Предлагает (Что?) закурить - глагольное сказуемое со связью управление.

главное слово - предлагает (глагол), зависимое слово - закурить (инфинитив).