Куры окончательно успокоились, но не последовали за ним искать обещанный клад, а начали одна за другой, осторожно поднимая

Обещанный - страдательное причастие, образовано от глагола совершенного вида обещать. Глагол оканчивается в неопределенной форме на -ать, поэтому пишется -нн-.