Грамматическая основа в предложении:Однажды мне довилось побывать на Северном Урале.

Основа данного предложения, довелось побывать, выражена неопределенной формой глагола побывать в сочетании с вспомогательным глаголом довелось. Из этого можно сделать вывод, что данное предложение является односоставным, безличным, с глагольным сказуемым.