Не случайно в годины военных и иных лихолетий люди обращаются к памятным страницам прошлого, ища в отшумевших веках поддержку

Деепричастный оборот включает в себя причастие с зависимыми от него словами. Деепричастный оборот в предложении можно распознать двумя способами:

1. Деепричастие, вне зависимости от того, распространенное оно или одиночное, в любом случае обосабливается запятыми. В данном предложении мы видим обособленную часть \"ища в отшумевших веках поддержку и ответы на загадку современности\". Значит, это деепричастный оборот.

2. Задать вопрос к слову. Деепричастие отвечает на вопрос \"как?\" и \"что делая?\" и производные от них. Ищем в предложении слово, отвечающее на эти вопросы. Подходит только слово \"ища\". После этого задаем от  \"ища\" всевозможные вопросы к другим словам, чтобы найти границы оборота. 

Ответ: \"ища в отшумевших веках поддержку и ответы на загадку современности\"